微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) e^{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

ステップ 1.2

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$1 + y^{2}$ を $(1 + y^{2}) e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (e^{x}))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = e^{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int e^{x} d x$

ステップ 2.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = e^{x} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (e^{x} + K)$

微分積分 例