微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (10 - x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 10 - x d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ の $0$ を $x$ に、 $- 1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ として書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

ステップ 4.2.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

ステップ 4.2.1.2.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

ステップ 4.2.1.3

$10$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + K = - 1$

ステップ 4.2.2

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = - 1$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = - 1$

ステップ 5

$- 1$ を $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

ステップ 5.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$

微分積分 例

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