微分積分例

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $\frac{x}{y} - \sin (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- \sin (y)$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \sin (y)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = \frac{1}{y}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = \frac{1}{y}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

ステップ 4.3

$1$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{y} + 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{y} + 0$

ステップ 4.3.3

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{1}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | y | + C$

ステップ 6

$1$ に $y$ をかけます。

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y d x$

ステップ 8

$M (x, y) = y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

ステップ 11.2

総和則では、 $y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

ステップ 11.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

ステップ 11.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

ステップ 12.1.2

$x - y \sin (y) - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- y \sin (y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

ステップ 13

$- y \sin (y)$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

ステップ 13.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

ステップ 13.4

$u = y$ と $d v = \sin (y)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

ステップ 13.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

ステップ 13.6

簡約します。

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ステップ 13.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

ステップ 13.6.2

$\int \cos (y) d y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

ステップ 13.7

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

ステップ 13.8

$- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ を $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ に書き換えます。

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

ステップ 15.2

$- (- y \cos (y))$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

ステップ 15.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$

微分積分 例

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