微分積分例

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$(y^{2} - y) d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} - y d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

微分積分 例