微分積分例

$\frac{d L}{d t} = {kL}^{2} \ln (t)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d L = {kL}^{2} \ln (t) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d L = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$L + C_{1} = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

${kL}^{2}$ は $t$ に対して定数なので、 ${kL}^{2}$ を積分の外に移動させます。

$L + C_{1} = {kL}^{2} \int \ln (t) d t$

ステップ 2.3.2

$u = \ln (t)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t)$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$t$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

ステップ 2.3.3.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

ステップ 2.3.3.2.2

式を書き換えます。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int d t)$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - (t + C_{2}))$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$L = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + K$

微分積分 例