微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

ステップ 1.2

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\cos^{2} (y)$ を $\cos (x) \cos^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を $\sec^{2} (y)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\tan (y)$ の微分係数が $\sec^{2} (y)$ なので、 $\sec^{2} (y)$ の積分は $\tan (y)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sin (x) + K = \tan (y)$ として書き換えます。

$\sin (x) + K = \tan (y)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\sin (x) = \tan (y) - K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

ステップ 3.4

方程式を $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ として書き換えます。

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

ステップ 3.5

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $\tan (y)$ を取り出します。

$\tan (y) - K = \sin (x)$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3.7

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

ステップ 3.8

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

ステップ 3.9

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $\tan (y)$ を取り出します。

$\tan (y) - K = \sin (x)$

ステップ 3.10

方程式の両辺に $K$ を足します。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3.11

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $y = \arctan (\sin (x) + K)$ の $0$ を $x$ に、 $\frac{π}{4}$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

ステップ 5

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ として書き換えます。

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $K$ を取り出します。

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

ステップ 5.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sin (0) + K$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

ステップ 5.3.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

ステップ 5.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\arcsin (\frac{π}{4})$ の値を求めます。

$K = 0.90333911$

ステップ 5.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

ステップ 5.6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

括弧を削除します。

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

ステップ 5.6.2

括弧を削除します。

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

ステップ 5.6.3

$3.14159265$ から $0.90333911$ を引きます。

$K = 2.23825354$

ステップ 5.7

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

微分積分 例

微分積分例