微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

ステップ 1.3

$\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{y}{2 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

ステップ 1.4

$\frac{y}{2 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

ステップ 1.4.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1

$V$ を移動させます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

ステップ 6.1.1.1.1.2

$V$ に $V$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

ステップ 6.1.1.1.2

指数を足して $V^{2}$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ を移動させます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$V$ に $V^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.2.1

$V$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

ステップ 6.1.1.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

ステップ 6.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $V^{3}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V + \frac{V^{3}}{2} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$\frac{V^{3}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$V^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{V^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

ステップ 6.1.3.2

$V^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$V^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

${(V^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.2

べき乗則では、 $V^{- 3}$ の $V$ に関する積分は $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ を $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1

$\frac{1}{V^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2.2

$2$ を $V^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ を簡約します。

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 6.3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 V^{2}, 1, 1$

ステップ 6.3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 V^{2}$

ステップ 6.3.3

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $2 V^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $2 V^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$2 V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1.1

$- \frac{1}{2 V^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.3

${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.4

簡約します。

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

ステップ 6.3.3.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

ステップ 6.3.3.3.2

$\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

ステップ 6.3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

方程式を $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ として書き換えます。

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

ステップ 6.3.4.2

$V^{2}$ を $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.2.1

$V^{2}$ を $2 C V^{2}$ で因数分解します。

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

ステップ 6.3.4.2.2

$V^{2}$ を $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ で因数分解します。

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

ステップ 6.3.4.3

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + 2 C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.3.1

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + 2 C$ で割ります。

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

ステップ 6.3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.3.2.1

$\ln (| x |) + 2 C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

ステップ 6.3.4.3.2.1.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

ステップ 6.3.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

ステップ 6.3.4.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

ステップ 6.3.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。