微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (0) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \sin (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \cos (x) + K$

$y = - \cos (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \cos (x) + K$ の $0$ を $x$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = - \cos (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \cos (0) + K = 5$ として書き換えます。

$- \cos (0) + K = 5$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 + K = 5$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + K = 5$

$- 1 + K = 5$

$- 1 + K = 5$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$K = 5 + 1$

ステップ 4.3.2

$5$ と $1$ をたし算します。

$K = 6$

$K = 6$

$K = 6$

ステップ 5

$6$ を $y = - \cos (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$6$ を $K$ に代入します。

$y = - \cos (x) + 6$

$y = - \cos (x) + 6$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$