微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$y' - y = 1$

ステップ 2

$y'$ を求めます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} + 0$

ステップ 2.3.3.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{x}$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

ステップ 4.2

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$0 + 1 = 1$

ステップ 4.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 = 1$

ステップ 5

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = e^{x} - 1$ は $y' - y = 1$ の解です

微分積分 例

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