微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sec (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

ステップ 1.2.2

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

ステップ 1.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

ステップ 1.2.4

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

ステップ 1.2.5

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

括弧を付けます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

ステップ 1.2.5.2

括弧を付けます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

ステップ 1.2.5.3

$\cos (y)$ と $x \sec (y)$ を並べ替えます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

ステップ 1.2.5.4

括弧を付けます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

ステップ 1.2.5.5

正弦と余弦に関して $2 \cos (y) x \sec (y)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

ステップ 1.2.5.6

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

ステップ 1.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (y)}$ で割ります。

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.1.3

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\sin (y) = x^{2} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (x^{2} + K)$

微分積分 例

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