微分積分例

$y (x - 1) d y - x (y - 1) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $x (y - 1) d x$ を足します。

$y (x - 1) d y = x (y - 1) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x - 1$ を $y (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y - 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3.3

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$y - 1$ を $(x - 1) (y - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

ステップ 3.3.2

$y - 1$ を $x (y - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{x - 1} x d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x - 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$y$ を $y - 1$ で割ります。

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ステップ 4.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y$

$0$

ステップ 4.2.1.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

ステップ 4.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

ステップ 4.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y - 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

ステップ 4.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

ステップ 4.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.4

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 4.2.4.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 4.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 4.2.4.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 4.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 4.3.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 4.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

ステップ 4.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

ステップ 4.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

ステップ 4.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4.3.4

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.3.4.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3.4.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.3.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y + \ln (| y - 1 |) = x + \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例