微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

微分積分 例

微分積分例