微分積分例

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + y e^{x y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

ステップ 1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{x y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

ステップ 1.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

ステップ 1.3.7

$e^{x y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ と $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

ステップ 1.4.3

$e^{x y} x y + e^{x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 y + x e^{x y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

ステップ 2.2.2

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

ステップ 2.3.7

$e^{x y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$0$ と $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

ステップ 2.4.3

$e^{x y} x y + e^{x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x y e^{x y} + e^{x y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $x y e^{x y} + e^{x y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

ステップ 5.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

ステップ 5.3

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

ステップ 5.4

$u = x y$ とします。次に $d u = y d x$ すると、 $\frac{1}{y} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$u = x y$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$x y$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 5.4.1.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \cdot 1$

ステップ 5.4.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$y$

ステップ 5.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

ステップ 5.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

ステップ 5.6

$\frac{1}{y}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\frac{1}{y}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

ステップ 5.7.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

ステップ 5.7.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

ステップ 5.7.3

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

ステップ 5.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

ステップ 5.9

簡約します。

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

ステップ 5.10

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

総和則では、 $x + e^{x y} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$0$ と $e^{x y} x$ をたし算します。

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 8.5.3

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x e^{x y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

ステップ 9.1.2

$2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$x e^{x y}$ から $x e^{x y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

ステップ 9.1.2.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

ステップ 10

$2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y d y$

ステップ 10.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例