微分積分例

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} a^{2}$ を ${(x a)}^{2}$ に書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

ステップ 3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

ステップ 3.2.3

指数をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

ステップ 3.2.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

ステップ 3.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

ステップ 3.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

ステップ 3.3

$a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$a$ を $x^{2} a$ で因数分解します。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

ステップ 3.3.2

$a$ を $a^{2}$ で因数分解します。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ と $a$ をまとめます。

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $a$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 4.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$a (- x^{- 1} + C_{2})$ を $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2

$a$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{a}{x} + K$

微分積分 例

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