微分積分例

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} - x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{2} - x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2} - x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x - y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- x + 2 y = 2 x - y$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- x + 2 y = 2 x - y$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 x - y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

ステップ 4.3

$x^{2} - x y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2} - x y$ を $N$ に代入します。

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.3

$- - y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.4

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.5

$2 y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.6

$3$ を $- 3 x + 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.6.2

$3$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.2.6.3

$3$ を $3 (- x) + 3 (y)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

ステップ 4.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$x$ を $x^{2} - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

ステップ 4.3.3.1.2

$x$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

ステップ 4.3.3.1.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

ステップ 4.3.3.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4

$- x + y$ と $x - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (x - y)$ を $- 1 (x - y)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

ステップ 4.3.4.6

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 4.3.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3}{x}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

ステップ 6

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y^{2} - x y$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 6.2

$y^{2} - x y$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $y^{2} - x y$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y \cdot y + y (- x)$ で因数分解します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

ステップ 6.4

$x^{2} - x y$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.5

$x^{2} - x y$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x$ を $x^{2} - x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を $- x y$ で因数分解します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6.1.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 1 y)$ で因数分解します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 6.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7.3

式を書き換えます。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

ステップ 8.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

ステップ 8.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

ステップ 8.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

ステップ 8.6

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 11.2.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.2.2

総和則では、 $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ および $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $x y - \frac{y^{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.3

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.5

$- \frac{y^{2}}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{y^{2}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.6

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.7.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.9

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.10

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.11

$\frac{1}{x^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.12

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.12.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.14

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.16

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.17

$(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.19

指数を足して $x^{- 3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.19.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.3.19.3

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.3

$x$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.4

$y$ と $\frac{x \cdot 2}{x}$ をまとめます。

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.6

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.7.2

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.9

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.12

$\frac{y^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.13

$\frac{y^{2}}{2}$ に $\frac{2}{x}$ をかけます。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.14

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.15.2

式を書き換えます。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.16

$y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.17

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.18

まとめる。

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.19

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.20

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.20.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.20.2

式を書き換えます。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.21

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.21.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.21.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.21.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.21.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.22

$\frac{d g}{d x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.3.23

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 11.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

ステップ 12.1.2

$y (y - x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

書き換えます。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

ステップ 12.1.2.2

0を加えて簡約します。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

ステップ 12.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

ステップ 12.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.4.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

ステップ 12.1.2.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

ステップ 12.1.3

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

ステップ 12.1.3.2

方程式の両辺に $x y$ を足します。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

ステップ 12.1.3.3

$y^{2} - y x - y^{2} + x y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

ステップ 12.1.3.3.2

$- y x$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

ステップ 12.1.3.3.3

$- y x$ と $x y$ について因数を並べ替えます。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

ステップ 12.1.3.3.4

$- x y$ と $x y$ をたし算します。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 12.1.4

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

ステップ 12.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

ステップ 12.1.4.2.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

ステップ 12.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.3.1

$0$ を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 13.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

ステップ 15.2

$\frac{1}{x^{2}}$ に $x y - \frac{y^{2}}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$y$ を $x y - \frac{y^{2}}{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.1.2

$y$ を $- \frac{y^{2}}{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.1.3

$y$ を $y x + y (- \frac{y}{2})$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.2

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.3

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 15.3.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 15.4

$y$ と $\frac{2 x - y}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

ステップ 15.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 15.6

まとめる。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 15.7

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例