微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $3 y + 1$ を掛けます。

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

ステップ 1.2

$3 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ を $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

ステップ 3.2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

ステップ 3.3

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

ステップ 3.3.3

$2 y$ を移動させます。

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

ステップ 3.3.4

$3 y^{2}$ と $- 4 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 3$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 4 x^{2} - 2 K$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.4

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.5

$- 2$ に $- 12$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6

$4$ を $4 + 48 x^{2} + 24 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.6.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6.2

$4$ を $48 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6.3

$4$ を $24 K$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6.4

$4$ を $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.6.5

$4$ を $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.7

$4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ を $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.7.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$

微分積分 例

微分積分例