微分積分例

$e^{x} d x - y d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $e^{x} d x$ を引きます。

$- y d y = - e^{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

ステップ 2.2.3

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{y^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2 (- e^{x} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $2 e^{x} - 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $- 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

微分積分 例

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