微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$y^{2}$ を $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

ステップ 1.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.3.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1.3.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

ステップ 1.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

ステップ 1.3.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

ステップ 1.3.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.2.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.4.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.4.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.4.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ として書き換えます。

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y$ を $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$y$ を $y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K$ で因数分解します。

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ の各項を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ の各項を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ で割ります。

$\frac{y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

微分積分 例

微分積分例