微分積分例

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ の各項を ${(1 + x)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ の各項を ${(1 + x)}^{2}$ で割ります。

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

${(1 + x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

${(1 + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = 1 + x$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 1 + x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

ステップ 2.3.4

$- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ を $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1 + y, 1 + x, 1$

ステップ 3.1.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.1.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.1.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 3.1.5

$1 + y$ の因数は $1 + y$ そのものです。

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 3.1.6

$1 + x$ の因数は $1 + x$ そのものです。

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 3.1.7

$1 + y, 1 + x$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(1 + y) (1 + x)$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ の各項に $(1 + y) (1 + x)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ の各項に $(1 + y) (1 + x)$ を掛けます。

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$1 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{1 + y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1

$- \frac{1}{1 + x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.1.2

$1 + x$ を $(1 + y) (1 + x)$ で因数分解します。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.1.3

共通因数を約分します。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.1.4

式を書き換えます。

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.4.2

分配則を当てはめます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

ステップ 3.2.3.1.4.3

分配則を当てはめます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

ステップ 3.2.3.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.5.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

ステップ 3.2.3.1.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

ステップ 3.2.3.1.5.3

$y$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

ステップ 3.2.3.1.6

分配則を当てはめます。

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

ステップ 3.2.3.1.7

$K$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ として書き換えます。

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

ステップ 3.3.2.3

方程式の両辺から $K x$ を引きます。

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

ステップ 3.3.2.4

$- 1 - x + 1 - K - K x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

ステップ 3.3.2.4.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

ステップ 3.3.3

$y$ を $- y + K y + K y x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

ステップ 3.3.3.2

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

ステップ 3.3.3.3

$y$ を $K y x$ で因数分解します。

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

ステップ 3.3.3.4

$y$ を $y \cdot - 1 + y K$ で因数分解します。

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

ステップ 3.3.3.5

$y$ を $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ で因数分解します。

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

ステップ 3.3.4

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ の各項を $- 1 + K + K x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ の各項を $- 1 + K + K x$ で割ります。

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- 1 + K + K x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.4

$- 1$ を $- (x) - K$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.5

$- 1$ を $- K x$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.6

$- 1$ を $- (x + K) - (K x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.7

$- (x + K + K x)$ を $- 1 (x + K + K x)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.8

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.9

$- 1$ を $K$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.10

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

ステップ 3.3.4.3.2.11

$- 1$ を $K x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

ステップ 3.3.4.3.2.12

$- 1$ を $- 1 (1 - K) - (- K x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

ステップ 3.3.4.3.2.13

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

ステップ 3.3.4.3.2.14

式を書き換えます。

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$

微分積分 例

微分積分例