微分積分例

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2} + x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.3

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.5

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

ステップ 1.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

ステップ 1.6.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 y + 0}{N}$

ステップ 4.3

$y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 y + 0}{y}$

ステップ 4.3.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 y}{y}$

ステップ 4.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{y}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

ステップ 6

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{2} + y^{2} + x$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = y e^{2 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{2 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $e^{2 x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3.3

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.3

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.4.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.8

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.9

$2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

ステップ 12.1.2

$x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$y^{2} e^{2 x}$ から $y^{2} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

ステップ 13

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.4

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.5.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.6

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.7.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.7.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.8

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.9.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.9.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.9.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.11

括弧を削除します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.12

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.12.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.12.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 13.12.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 13.12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 13.12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.13

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.15.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.15.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.16

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.17

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.18.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.19

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 13.20

括弧を削除します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

ステップ 13.21

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.21.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.21.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 13.21.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.21.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 13.21.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 13.21.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 13.22

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 13.23

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 13.24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.24.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.24.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13.25

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 13.26

簡約します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 13.27

簡約します。

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ステップ 13.27.1

$- \frac{x e^{2 x}}{2}$ と $\frac{x e^{2 x}}{2}$ をたし算します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 13.27.2

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 13.27.3

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

ステップ 13.27.4

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

ステップ 13.27.5

公分母の分子をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

ステップ 13.27.6

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

ステップ 13.27.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

ステップ 13.27.8

$- 4$ と $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

ステップ 13.27.9

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.27.9.1

$4$ を $- 4 e^{u_{2}}$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

ステップ 13.27.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.27.9.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

ステップ 13.27.9.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

ステップ 13.27.9.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

ステップ 13.27.9.2.4

$- e^{u_{2}}$ を $1$ で割ります。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

ステップ 13.27.10

$e^{u_{1}}$ から $e^{u_{2}}$ を引きます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

ステップ 13.27.11

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.27.11.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

ステップ 13.27.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.27.11.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

ステップ 13.27.11.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

ステップ 13.27.11.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

ステップ 13.27.11.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

ステップ 13.27.12

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 13.28

項を並べ替えます。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例