微分積分例

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y^{2} + y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y^{2} + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y^{2}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y^{3} - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3} - x]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 y^{3} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.2

$2 y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

ステップ 2.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$4 x y + 1 = - 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$4 x y + 1 = - 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$4 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

ステップ 4.3

$2 x y^{2} + y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 x y^{2} + y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ を $- 1 - (4 x y + 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ と $- (4 x y + 1)$ を並べ替えます。

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 1$ を $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- (4 x y + 2)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $4 x y + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$2$ を $4 x y$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.3.3

$2$ を $2 (2 x y) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{2 x y^{2} + y}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $2 x y^{2} + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y$ を $2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y^{1}}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.4

$y$ を $y (2 x y) + y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

ステップ 4.3.4

$2 x y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.5

$2 x y^{2} + y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x y^{2} + y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(2 x y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.2

$2 x y^{2} + y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x y^{2} + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $2 x y^{2} + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y$ を $2 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x y) + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (2 x y) + y^{1}}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x y) + y \cdot 1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.3.4

$y$ を $y (2 x y) + y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x y + 1)}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

ステップ 6.5

$2 y^{3} - x$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

$2 y^{3} - x$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{2 x y + 1}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{2 x y + 1}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数を複数の分数に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} + \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.3.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d x$

ステップ 8.6

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

ステップ 8.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

ステップ 8.7.2

$\frac{1}{y}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{x}{y} + C$

ステップ 8.8

簡約します。

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

総和則では、 $x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.2.2

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$0 + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$0 - \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2.2

$0$ から $\frac{x}{y^{2}}$ を引きます。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3} - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3}) - - x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} - - x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + 1 x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- x - 2 y^{3} + x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- 2 y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$y^{2}$ を $- 2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{1} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.4

$- 2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} - 2 y = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

ステップ 13

$2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y d y$

ステップ 13.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例