微分積分例

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

ステップ 1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{x} y$ の微分係数は $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

ステップ 1.3.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x e^{x} y$ の微分係数は $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

ステップ 1.5.3

$e^{x} x + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = x e^{x} + 2$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x e^{x} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$x e^{x} + e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

ステップ 2.5.3

$e^{x} x + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$x e^{x} + e^{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $x e^{x} + e^{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x e^{x} + 2$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.2

総和則では、 $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(x e^{x} + 2) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $x e^{x} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.6

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.7

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.3.8

$x e^{x} + e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

分配則を当てはめます。

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 8.5.3

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$1 + e^{x} y + x e^{x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $x y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

ステップ 9.1.2.2

方程式の両辺から $y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

ステップ 9.1.2.3

$1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.3.1

$x y e^{x}$ から $x y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

ステップ 9.1.2.3.2

$1 + y e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

ステップ 9.1.2.3.3

$y e^{x}$ から $y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

ステップ 9.1.2.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 1$

ステップ 10

$1$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int d x$

ステップ 10.3

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C$

ステップ 11

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

ステップ 12

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$

微分積分 例

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