微分積分例

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

ステップ 1.2

$f (y) = y$ および $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $2 x^{2} - x y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$2 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [- x y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.8

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

ステップ 1.3.10

$2 x^{2} - x y + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

ステップ 1.4

$y (- x)$ から $x y$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$y$ を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

ステップ 1.4.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x - y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.4

$- y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x^{2} - 2 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x^{2} - 2 x y + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

ステップ 4.3

$x - y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x - y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

ステップ 4.3.2.2

$2 x^{2} - 2 x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

ステップ 4.3.2.3

$2 x$ を $2 x^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$2 x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

ステップ 4.3.2.3.2

$2 x$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

ステップ 4.3.2.3.3

$2 x$ を $2 x (x) + 2 x (- y)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

ステップ 4.3.3

$x - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

ステップ 4.3.3.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$2 x$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 x d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 5.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ を $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ に書き換えます。

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

ステップ 5.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

ステップ 5.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

ステップ 5.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

ステップ 6

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y (2 x^{2} - x y + 1)$ に $e^{x^{2}}$ をかけます。

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$y$ を移動させます。

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

ステップ 6.6

$x - y$ に $e^{x^{2}}$ をかけます。

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

ステップ 8.3

$- e^{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $- e^{x^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.5

簡約します。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.6.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ を $- (\frac{1}{2})$ に書き換えます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.6.3

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

ステップ 8.6.4

$e^{x^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.6.5

$y^{2}$ と $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

ステップ 8.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

項を並べ替えます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

ステップ 8.7.2

括弧を削除します。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

ステップ 8.7.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{x^{2}} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.10

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.3.11

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.2

$e^{x^{2}}$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.3

$- \frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ です。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.7

$- 2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.8

$e^{x^{2}}$ と $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ をまとめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.9

$\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.10

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.10.1

$2$ を $e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ で因数分解します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.10.2.3

式を書き換えます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.4.10.2.4

$e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ を $1$ で割ります。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

分配則を当てはめます。

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 11.6.3

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $y e^{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.3

方程式の両辺に $y^{2} x e^{x^{2}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4

$2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.4.1

$2 y x^{2} e^{x^{2}}$ と $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x^{2} y$ から $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.3

$- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.4

$y e^{x^{2}}$ から $y e^{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.5

$- y^{2} x e^{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

ステップ 12.1.4.6

$- y^{2} x e^{x^{2}}$ と $y^{2} x e^{x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 13.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 15.1.2

$e^{x^{2}}$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例