微分積分例

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y^{2} - 2 x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2 x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x + 2 y = 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 x + 2 y = 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- 2 x + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

ステップ 4.3

$y^{2} - 2 x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y^{2} - 2 x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.4

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5

$2$ を $4 x - 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5.2

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5.3

$2$ を $2 (2 x) + 2 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $y^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

$y$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

ステップ 4.3.3.3

$y$ を $y \cdot y + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

ステップ 4.3.4

$2 x - y$ と $y - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ を $- (- 2 x) - (y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

ステップ 4.3.4.4

$- (- 2 x + y)$ を $- 1 (- 2 x + y)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

ステップ 4.3.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

ステップ 4.3.4.6

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

ステップ 4.3.4.7

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.6

$y^{2} - 2 x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$y^{2} - 2 x y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.2

$y^{2} - 2 x y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.3

$y$ を $y^{2} - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.2

$y$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.3.3

$y$ を $y \cdot y + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 6.5

$x^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

$x^{2}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $x^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

ステップ 8.2

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

ステップ 8.3

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

ステップ 8.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

ステップ 8.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$x^{2} (- y^{- 1} + C)$ を $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

ステップ 8.5.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$- \frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{y}$ の微分係数は $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3.4

$- 2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3.5

$\frac{- 2}{y}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{y - 2 x}{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 2 x - y + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 1$

ステップ 13

$1$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int d x$

ステップ 13.3

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$

微分積分 例

微分積分例