微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{1}{e^{- y}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

ステップ 1.2.3

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$e^{- y}$ を $x^{- 2} e^{- y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

ステップ 1.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.5

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$3 (- x^{- 1} + C_{2})$ を $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

微分積分 例

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