微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2} + x}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{3}{x^{2} + x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2} + x} d x$

ステップ 2.3.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 2.3.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x + x}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.1.1.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (x + 1)}$

ステップ 2.3.2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x + 1)$ です。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6.1.2

$A (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.1.6.4.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

ステップ 2.3.2.1.7

$A$ を移動させます。

$1 = A x + B x + A$

ステップ 2.3.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.3.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 2.3.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 2.3.2.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 2.3.2.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.2.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

ステップ 2.3.2.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

ステップ 2.3.2.3.3

$0 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 2.3.2.3.3.1

方程式を $1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

ステップ 2.3.2.3.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

ステップ 2.3.2.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1$

ステップ 2.3.2.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1$

ステップ 2.3.2.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

ステップ 2.3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = 3 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 2.3.6

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.6.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

微分積分 例

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