微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

分数 $\frac{3 y - 4 x}{x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $\frac{3 y}{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{3}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 3}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\frac{3 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 3.3

まとめる。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

ステップ 3.4

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

ステップ 3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

ステップ 3.4.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

ステップ 3.5

$- 4 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

ステップ 3.6

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

ステップ 7.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 7.3.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 7.3.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.3.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

ステップ 7.4

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

ステップ 7.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 7.5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

ステップ 7.5.2

簡約します。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 7.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.5.3.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.5.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

ステップ 7.5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 7.5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

方程式の両辺から $\frac{2}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{x^{3}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $\frac{2}{x^{2}}$ を足します。

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y = 2 x + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.3

$2 x$ と $C x^{3}$ を並べ替えます。

$y = C x^{3} + 2 x$

微分積分 例

微分積分例