微分積分例

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 x (1 + e^{y}) d x$ を足します。

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1 + x^{2}$ を $e^{y} (1 + x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + e^{y}}$ と $e^{y}$ をまとめます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.4

$2$ と $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ をまとめます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.5

$1 + e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$1 + e^{y}$ を $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ で因数分解します。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

ステップ 3.5.2

$1 + e^{y}$ を $x (1 + e^{y})$ で因数分解します。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

ステップ 3.6

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u_{1} = 1 + e^{y}$ とします。次に $d u_{1} = e^{y} d y$ すると、 $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 1 + e^{y}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$1 + e^{y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.2

微分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{y}$

ステップ 4.2.1.1.4

$0$ と $e^{y}$ をたし算します。

$e^{y}$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + e^{y}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 4.3.2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.5.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

微分積分 例

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