微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

ステップ 2.5

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

ステップ 2.5.2

$e^{r x}$ を $- 2 r e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

ステップ 2.5.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

ステップ 2.5.4

$e^{r x}$ を $- 3 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

ステップ 2.5.5

$e^{r x}$ を $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

ステップ 3.2

$- 3$ から $5$ を引きます。

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $r^{2} - 2 r - 8$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(r - 4) (r + 2) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

ステップ 3.5

$r - 4$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$r - 4$ が $0$ に等しいとします。

$r - 4 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$r = 4$

ステップ 3.6

$r + 2$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$r + 2$ が $0$ に等しいとします。

$r + 2 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$r = - 2$

ステップ 3.7

最終解は $(r - 4) (r + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = 4, - 2$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$

微分積分 例

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