微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

ステップ 1.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

ステップ 1.4

$3 y^{\frac{4}{3}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{6 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{6}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{6}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{\frac{4}{3}}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 3}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 3}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{- 3}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{- 3}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 3}]$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{3}}]$

ステップ 5.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

ステップ 5.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

${(v^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{3 \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

ステップ 5.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{3} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

ステップ 5.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$v^{3}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

ステップ 5.4.4.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{3}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

ステップ 5.4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

ステップ 5.5

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

ステップ 5.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

ステップ 5.5.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

ステップ 5.6

$v^{2}$ と $v^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$v^{2}$ を $3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]$ で因数分解します。

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{6}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$v^{2}$ を $v^{6}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

ステップ 5.6.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

ステップ 5.6.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{3 \frac{d}{d x} [v]}{v^{4}}$

ステップ 5.7

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{3 v'}{v^{4}}$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$ の $- \frac{3 v'}{v^{4}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- 3}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{3 v'}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ の各項に $- \frac{v^{4}}{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ の各項に $- \frac{v^{4}}{3}$ を掛けます。

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

$- \frac{v^{4}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.1.3

$3$ を $- 3 \frac{d v}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.1.5

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- v^{4}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$v^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.2.1

$v^{4}$ を $- v^{4}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.4

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} v^{- 3} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{1}{v^{3}} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$\frac{1}{v^{3}}$ に $\frac{6}{x}$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.8

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.8.1

$- \frac{6}{v^{3} x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.8.2

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (- 2)}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 \cdot - 2}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.8.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.9

$v^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.9.1

$v^{3}$ を $v^{3} x$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.9.2

$v^{3}$ を $v^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.9.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.9.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.10

$\frac{- 2}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1.1

$- \frac{v^{4}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

ステップ 7.1.1.3.1.2

$3$ を $3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 ({(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}) \frac{- v^{4}}{3}$

ステップ 7.1.1.3.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

ステップ 7.1.1.3.1.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- v^{4})$

ステップ 7.1.1.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.2.2

${(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 3 (\frac{4}{3})} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.2.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 (- 1) \frac{4}{3}} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 \cdot - 1 \frac{4}{3}} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 1 \cdot 4} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.2.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 4} v^{4}$

ステップ 7.1.1.3.3

指数を足して $v^{- 4}$ に $v^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

$v^{4}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (v^{4} v^{- 4})$

ステップ 7.1.1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{4 - 4}$

ステップ 7.1.1.3.3.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{0}$

ステップ 7.1.1.3.4

$- v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1$

ステップ 7.1.2

$v$ を $- \frac{2 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 1$

ステップ 7.1.3

$v$ と $- \frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 1$

ステップ 7.2

$P (x) = - \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{2}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 7.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 7.2.2.5

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 7.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

ステップ 7.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 2}$

ステップ 7.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.3

$\frac{2}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.1

$\frac{2 v}{x}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}}$

ステップ 7.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

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ステップ 7.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.7.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.7.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.7.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.7.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{- 2} d x$

ステップ 7.7.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{x^{2}} v = - (- x^{- 1} + C)$

ステップ 7.7.4

答えを簡約します。

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ステップ 7.7.4.1

$- (- x^{- 1} + C)$ を $- - \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} v = - - \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.7.4.2

簡約します。

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ステップ 7.7.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} v = 1 \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.7.4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.8

$v$ について解きます。

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ステップ 7.8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 7.8.1.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} = C$

ステップ 7.8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 7.8.2

$v$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.8.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{1}{x}$

ステップ 7.8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.8.3

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

ステップ 7.8.4

簡約します。

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ステップ 7.8.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.8.4.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

ステップ 7.8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

ステップ 7.8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.4.2.1

$(\frac{1}{x} + C) x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 7.8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

ステップ 7.8.4.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.4.2.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$v = x + C x^{2}$

ステップ 7.8.4.2.1.3

$x$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$v = C x^{2} + x$

ステップ 8

$y^{- \frac{1}{3}}$ を $v$ に代入します。

$y^{- \frac{1}{3}} = C x^{2} + x$

微分積分 例

微分積分例