微分積分例

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$8 y d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 8 y d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$8$ は $y$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int y d y = \int x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3.1.3

まとめる。

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.1.3.1.5

$2$ に $4$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{K}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{K}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

ステップ 3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

ステップ 3.3.4

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

ステップ 3.3.5

$\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.1

$x^{2} + 2 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

ステップ 3.3.5.2

$8$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.5.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

ステップ 3.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

ステップ 3.3.7

$\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.8

まとめる。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.9

$\sqrt{x^{2} + 2 K}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.10

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.3.11

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.11.1

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.3.11.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 3.3.11.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 3.3.11.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 3.3.11.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.11.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.3.11.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.11.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.11.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.11.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.11.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.11.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.11.7.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 3.3.11.7.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.12

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.13

式を簡約します。

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ステップ 3.3.13.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.3.13.2

$\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

微分積分 例

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