微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{\sin (y)}$ を $\csc (y)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

ステップ 1.1.3

$9$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

ステップ 1.1.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

ステップ 1.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

ステップ 1.1.5.2

$\frac{1}{\sin (y)}$ を $\csc (y)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

ステップ 1.1.5.3

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

ステップ 1.1.6

$\csc (y)$ を $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.6.1

$\csc (y)$ を $x \csc (y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

ステップ 1.1.6.2

$\csc (y)$ を $- 9 \csc (y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

ステップ 1.1.6.3

$\csc (y)$ を $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\csc (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

ステップ 1.3

$\csc (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (y)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

ステップ 2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (y)}$ で割ります。

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

ステップ 2.2.1.3

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

ステップ 2.2.2

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ を $- (\frac{1}{2} x^{2})$ に書き換えます。

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$\frac{- 9 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot (- 9 x)$ を $- (- 9 x)$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.6

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.7

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.8

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$

微分積分 例

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