微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{4}}$ の $x$ に関する積分は $4 x^{\frac{1}{4}}$ です。

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ を $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ の $1$ を $x$ に、 $8$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ として書き換えます。

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$12 \cdot 1 + K = 8$

ステップ 4.2.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + K = 8$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$K = 8 - 12$

ステップ 4.3.2

$8$ から $12$ を引きます。

$K = - 4$

ステップ 5

$- 4$ を $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 4$ を $K$ に代入します。

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$

微分積分 例

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