微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - y$

ステップ 1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2}$

ステップ 2

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$

ステップ 3.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

ステップ 7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

ステップ 7.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

ステップ 7.4

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 7.5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 7.6

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ を $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ に書き換えます。

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

ステップ 8

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- 2 x$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.3

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = x^{2} - 2 x + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 8.3.1.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$y = x^{2} - 2 x + 2 + \frac{C}{e^{x}}$

微分積分 例

微分積分例