微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

まとめる。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2

$\cos^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2.4

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ を $\sec^{2} (y)$ に変換します。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\tan (y)$ の微分係数が $\sec^{2} (y)$ なので、 $\sec^{2} (y)$ の積分は $\tan (y)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2.3

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- \cot (x) + K = \tan (y)$ として書き換えます。

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

ステップ 3.3

$- \cot (x) = \tan (y) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- \cot (x) = \tan (y) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

$\cot (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$\frac{\tan (y)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot \tan (y)$ を $- \tan (y)$ に書き換えます。

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.3.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $y$ を取り出します。

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

ステップ 3.5

方程式を $arccot (- \tan (y) + K) = x$ として書き換えます。

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

ステップ 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

ステップ 3.7

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

ステップ 3.8

$- \tan (y) = \cot (x) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- \tan (y) = \cot (x) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.2.2

$\tan (y)$ を $1$ で割ります。

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.8.3.1.1

$\frac{\cot (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3.1.2

$- 1 \cdot \cot (x)$ を $- \cot (x)$ に書き換えます。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.8.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

ステップ 3.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

ステップ 3.10

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

ステップ 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

ステップ 3.12

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

ステップ 3.13

$- \tan (y) = \cot (x) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.13.1

$- \tan (y) = \cot (x) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.2.2

$\tan (y)$ を $1$ で割ります。

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.3.1.1

$\frac{\cot (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3.1.2

$- 1 \cdot \cot (x)$ を $- \cot (x)$ に書き換えます。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.13.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

ステップ 3.14

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

微分積分 例

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