微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $1 + \sqrt{y}$ を掛けます。

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

ステップ 1.2

$1 + \sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = 1 + \sqrt{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(1 + \sqrt{y}) d y = (1 + \sqrt{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 1 + \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} + \int y^{\frac{1}{2}} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$y + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2.6

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int d x + \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + K$

微分積分 例

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