微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

ステップ 1.2

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.5

$y$ を $\frac{- y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 1.6

$y$ と $\frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

ステップ 3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

ステップ 3.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

ステップ 3.3.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 3.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

簡約します。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

ステップ 7.6.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 8.1.1

方程式の両辺から $\ln (| x |)$ を引きます。

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

ステップ 8.1.3

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.1.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

ステップ 8.2.3

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

ステップ 8.4.2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.3.1

$\ln (| x |) x + 1 + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

ステップ 8.4.2.1.3.2

$1$ を移動させます。

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

ステップ 8.4.2.1.3.3

$x \ln (| x |)$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$

微分積分 例

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