微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y^{2} - 1$ を掛けます。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 1.2.2

$y^{2} - 1$ に $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ をかけます。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 1.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 1.2.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 1.2.4

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

共通因数を約分します。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 1.2.4.2

式を書き換えます。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

ステップ 1.2.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

微分積分 例

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