微分積分例

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ の各項を $y \ln (x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ の各項を $y \ln (x)$ で割ります。

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

積の法則を $\frac{y - 1}{x}$ に当てはめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

ステップ 1.1.3.3

まとめる。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

ステップ 1.1.3.4

${(y - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

ステップ 1.3

両辺に $x^{2} \ln (x)$ を掛けます。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

まとめる。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

ステップ 1.4.2

$x^{2} \ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x^{2} \ln (x)$ を $y (x^{2} \ln (x))$ で因数分解します。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

ステップ 1.4.3

${(y - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.4.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ を $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.3

$x^{3}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

${(y - 1)}^{2}$ を $(y - 1) (y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

ステップ 2.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.5

$y$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.6

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.9

式を簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

ステップ 2.3.9.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

ステップ 2.3.10

$- 1 y$ から $1 y$ を引きます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

ステップ 2.3.11

$y^{2} - 2 y + 1$ を $y$ で割ります。

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ステップ 2.3.11.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

ステップ 2.3.11.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.3.11.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

ステップ 2.3.11.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

ステップ 2.3.11.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

ステップ 2.3.11.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.3.11.7

被除数 $- 2 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

ステップ 2.3.11.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

ステップ 2.3.11.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

ステップ 2.3.11.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

ステップ 2.3.11.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3.12

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3.13

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3.14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3.15

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

ステップ 2.3.16

簡約します。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$

微分積分 例

微分積分例