微分積分例

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

書き換えます。

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = 2 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 2.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

ステップ 3

$N (x, y) = x + 4 y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.4

$4 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 = 1$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{1 - 2}{M}$

ステップ 5.3

$2 y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 y$ を $M$ に代入します。

$\frac{1 - 2}{2 y}$

ステップ 5.3.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{2 y}$

ステップ 5.3.3

$2 y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{1}{2 y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 6.4

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

ステップ 6.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{1}{2}$ を並べ替えます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

ステップ 6.5.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

ステップ 6.5.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

ステップ 6.5.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

ステップ 6.5.4

${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

ステップ 6.5.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

ステップ 6.5.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 6.5.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 7

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2 y$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ と $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2.2

$y$ と $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.4

公分母の分子をまとめます。

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.5

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6

$x + 4 y^{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

ステップ 7.7

$x + 4 y^{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

$M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y^{\frac{1}{2}} x$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.9

$2$ と $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.10

$x$ と $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.11

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.13

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.14

式を書き換えます。

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 13.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 13.1.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 13.1.1.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.3.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 13.1.1.3.2

$0$ から $4 y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 13.1.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.4.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.4.2.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.4.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4.2.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺に $4 y^{\frac{3}{2}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14

$4 y^{\frac{3}{2}}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

ステップ 14.3

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

ステップ 14.4

べき乗則では、 $y^{\frac{3}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ です。

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 14.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ を $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 14.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.2.1

$4$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 14.5.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 16

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{8}{5}$ と $y^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

ステップ 16.2

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

微分積分 例

微分積分例