微分積分例

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\cos (x) \sin (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x y^{2}$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

ステップ 1.4

$0$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

ステップ 2

$N (x, y) = y (1 - x^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $y (1 - x^{2})$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

ステップ 2.8.2

$y (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 2 x y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x y = - 2 x y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 2 x y = - 2 x y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = y (1 - x^{2})$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$1 - x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $1 - x^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 5.3

$(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.2

$\frac{y^{2}}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.3

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.8

$0$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.9

$- 2$ と $\frac{y^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.10

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.11

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.11.1

$2$ を $- 2 y^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.4

$- y^{2} x$ を $1$ で割ります。

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $y^{2} x$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

ステップ 9.1.2

$\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$- x y^{2}$ と $y^{2} x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

ステップ 9.1.2.2

$- y^{2} x$ と $y^{2} x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

ステップ 9.1.2.3

$\cos (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

ステップ 10

$\cos (x) \sin (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 10.3

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.3.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.3.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 10.3.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 10.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \int - u d u$

ステップ 10.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int u d u$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 10.6

$- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

ステップ 10.7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 11

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.4

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.5

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.6

$y^{2}$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

ステップ 12.7

$\cos^{2} (x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$

微分積分 例

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