微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 3 x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (e^{3 x} + 3 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int e^{3 x} + 3 x d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{3 x} + 3 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int 3 x d x$

ステップ 2.3.2

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int 3 x d x$

ステップ 2.3.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int 3 x d x$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int 3 x d x$

ステップ 2.3.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int 3 x d x$

ステップ 2.3.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 \int x d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + K$

微分積分 例

微分積分例