微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 1}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6.1.1.2

$- {(v^{- 1})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

ステップ 6.1.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

ステップ 6.1.1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

ステップ 6.1.1.3

方程式の両辺に $\frac{1}{v}$ を足します。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

ステップ 6.1.1.4

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.4.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.4.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.4.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.4.3.1.2

$\frac{1}{v^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.4.3.1.3

$\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

ステップ 6.1.1.4.3.1.4

$- 1 \cdot \frac{1}{v}$ を $- \frac{1}{v}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

ステップ 6.1.1.5

両辺に $v^{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

ステップ 6.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.2.1

$(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.2.1.2

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.2.1.3

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.2.1.3.1

$- \frac{1}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

ステップ 6.1.1.6.2.1.3.2

$v$ を $v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

ステップ 6.1.1.6.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

ステップ 6.1.1.6.2.1.3.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

ステップ 6.1.1.6.2.1.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.6.2.1.4.1

$- 1 v$ を $- v$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

ステップ 6.1.1.6.2.1.4.2

$1$ と $- v$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{- v + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

ステップ 6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$\frac{1}{- v + 1}$ に $- v + 1$ をかけます。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

ステップ 6.1.3.2

$- v + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

$u = - v + 1$ とします。次に $d u = - d v$ すると、 $- d u = d v$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$u = - v + 1$ とします。 $\frac{d u}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

ステップ 6.2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

ステップ 6.2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.2.2.6

$u$ のすべての発生を $- v + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

ステップ 6.3

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2.2

$\ln (| - v + 1 |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

ステップ 6.3.2

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

ステップ 6.3.3

対数の定義を利用して $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

ステップ 6.3.4

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

方程式を $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ として書き換えます。

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

ステップ 6.3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

ステップ 6.3.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

ステップ 6.3.4.4

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.1

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.4.4.2.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.4.4.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ を $- (\pm e^{- x - C})$ に書き換えます。

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.4.4.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

ステップ 6.4.2

$e^{- x + C}$ を $e^{- x} e^{C}$ に書き換えます。

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

ステップ 6.4.3

$e^{- x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

ステップ 6.4.4

定数を正または負でまとめます。

$v = - (C e^{- x}) + 1$

ステップ 7

$y^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$

微分積分 例

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