微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int 4 x d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x y = 4 \int x d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 5.3

答えを簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.3.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$x y = 2 x^{2} + C$

ステップ 6

$x y = 2 x^{2} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x y = 2 x^{2} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.5

$2 x$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

ステップ 7

初期条件を利用し、 $y = 2 x + \frac{C}{x}$ の $1$ を $x$ に、 $8$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

ステップ 8

$C$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ として書き換えます。

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{C}{1} = 8$

ステップ 8.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$2 + C = 8$

ステップ 8.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.3.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$C = 8 - 2$

ステップ 8.3.2

$8$ から $2$ を引きます。

$C = 6$

ステップ 9

$6$ を $y = 2 x + \frac{C}{x}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$6$ を $C$ に代入します。

$y = 2 x + \frac{6}{x}$

微分積分 例

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