微分積分例

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ の各項を $4 x$ で割ります。

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

ステップ 1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

ステップ 1.6

$y$ を $\frac{- y}{4 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

ステップ 1.7

$y$ と $\frac{- 1}{4 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{4 x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- \frac{1}{4}}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{4 x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{4 x}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$x^{\frac{1}{4}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2.2

$x^{\frac{1}{4}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.2.5.2.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

ステップ 3.4

まとめる。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

ステップ 3.6

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 3.7

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{4}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 3.8

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{4}}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1

$x^{- \frac{1}{4}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

ステップ 3.8.2

$x^{- \frac{1}{4}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

ステップ 3.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

ステップ 3.8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

ステップ 3.8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

ステップ 3.8.5

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ を $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{4}{7}$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.3

$4$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.4

$12$ と $28$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 7.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

ステップ 8.2

$\frac{3}{7}$ と $x^{\frac{7}{4}}$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{\frac{1}{4}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2

$\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ と $x^{\frac{1}{4}}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

指数を足して $x^{\frac{7}{4}}$ に $x^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$x^{\frac{1}{4}}$ を移動させます。

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.4

$1$ と $7$ をたし算します。

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.5

$8$ を $4$ で割ります。

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

微分積分 例

微分積分例