微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$2 d y = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 2 d y = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$2 y + C_{1} = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

定数の法則を当てはめます。

$2 y + C_{1} = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) x + C_{2}$

ステップ 2.3.2

項を並べ替えます。

$2 y + C_{1} = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$

ステップ 3

$2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ を掛けます。

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$- 3$ と $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} + \frac{- 3 d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x \frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.2

$x$ と $\frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2} \cdot 2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.1.5

$2$ を $d x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2

$\frac{K}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ を掛けます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}}$

ステップ 3.3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x (4 d^{7} y) + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{4 x d^{7} y + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

ステップ 3.3.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K}{2 d x^{2}}$

微分積分 例

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