微分積分例

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

ステップ 2.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 (x + y^{6})$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + y^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

ステップ 2.5

$y^{6}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{6}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 4$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - 4$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - 4$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- 4$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 4 - 1}{M}$

ステップ 4.3

$y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 4 - 1}{y}$

ステップ 4.3.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 5}{y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{5}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

ステップ 5.2

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 5$ を移動させて $- 5 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

ステップ 6

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{5}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y$ に $\frac{1}{y^{5}}$ をかけます。

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y$ を $y^{5}$ で因数分解します。

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

ステップ 6.3

$- 4 (x + y^{6})$ に $\frac{1}{y^{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.5

$- 4 x - 4 y^{6}$ に $\frac{1}{y^{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.6

$4$ を $- 4 x - 4 y^{6}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$4$ を $- 4 y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.6.3

$4$ を $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- (x) - (y^{6})$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.10

$- (x + y^{6})$ を $- 1 (x + y^{6})$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 6.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{y^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y^{4}}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y^{4}}$ を ${(y^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{4}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{4}$ で置き換えます。

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.5

${(y^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.7

指数を足して $y^{- 8}$ に $y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.7.1

$y^{3}$ を移動させます。

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.3.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{y^{5}}$ をまとめます。

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5.2.3

$x$ と $\frac{4}{y^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5.2.4

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$0$ と $4 y^{6}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.6

$y^{6}$ と $y^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.1

$y^{5}$ を $4 y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.6.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

ステップ 12.1.1.6.2.4

$4 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

ステップ 13

$- 4 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - 4 y d y$

ステップ 13.3

$- 4$ は $y$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 4 \int y d y$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$

微分積分 例

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