微分積分例

$e^{- y} \sin (x) - \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $e^{- y} \sin (x)$ を引きます。

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ の各項を $- \cos^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ の各項を $- \cos^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3.3

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 1.1.2.3.5

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 1.1.2.3.6

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.1.2.3.7

$e^{- y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec (x) \tan (x))$

ステップ 1.3

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$e^{- y}$ を $e^{- y} \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$e^{y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = \sec (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\sec (x) + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\sec (x) + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\sec (x) + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\sec (x) + K)$

微分積分 例

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