微分積分例

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = x y + y - 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y + y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.4.2

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

ステップ 2.4.3

$x + 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

ステップ 3

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x + 1 = 1$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x + 1 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$x + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

ステップ 5.3

$x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{x + 0}{x}$

ステップ 5.3.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{x + C}$

ステップ 6.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{x} + C$

ステップ 7

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x y + y - 1$ に $e^{x}$ をかけます。

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

ステップ 7.3

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

ステップ 7.4

$x$ に $e^{x}$ をかけます。

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = x e^{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.2

総和則では、 $x e^{x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

分配則を当てはめます。

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 12.5.3

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $x y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺から $y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

ステップ 13.1.3

$x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.3.1

$x y e^{x}$ から $x y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

ステップ 13.1.3.2

$0$ と $y e^{x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

ステップ 13.1.3.3

$y e^{x}$ から $y e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

ステップ 13.1.3.4

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

ステップ 14

$- e^{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - e^{x} d x$

ステップ 14.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int e^{x} d x$

ステップ 14.4

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$g (x) = - (e^{x} + C)$

ステップ 14.5

簡約します。

$g (x) = - e^{x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

ステップ 16

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$

微分積分 例

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