微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ を $- \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$

微分積分 例

微分積分例